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密码学:欧拉函数、欧拉定理、模反元素

密码学 云涯 4年前 (2021-01-04) 2666次浏览

1 互质关系

如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系(coprime)。比如,15和32没有公因子,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系,不难得到以下结论:

  1. 任意两个质数构成互质关系,比如13和61。

  2. 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10。

  3. 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和57。

  4. 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99。

  5. p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56。

  6. p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15。

2 欧拉函数

请思考以下问题:

任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?

计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式:

可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积,

  n = p1 × p2

  φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到”中国剩余定理”,这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论,得到

再根据第3条的结论,得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:

3 欧拉定理

欧拉函数的用处,在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是:

如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:

也就是说,a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说,a的φ(n)次方减去1,可以被n整除。比如,3和7互质,而7的欧拉函数φ(7)等于6,所以3的6次方(729)减去1,可以被7整除(728/7=104)。

欧拉定理的证明比较复杂,这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如,7和10互质,根据欧拉定理,

已知 φ(10) 等于4,所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。

因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来。

欧拉定理有一个特殊情况。

假设正整数a与质数p互质,因为质数p的φ(p)等于p-1,则欧拉定理可以写成

这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理,就可以理解RSA。

4 模反元素

如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。

这时,b就叫做a的”模反元素”。

比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

可以看到,a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。


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